Джошуа родился в семье Роберта и Реты Джошуа. Его мать нигерийка, у отца — нигерийские и ирландские корни. В детстве Энтони прожил несколько лет в Нигерии, но когда ему было 12-ть, после развода родителей, вернулся в Англию.
Начал занятия боксом в возрасте 18 лет. Первый серьёзный успех пришёл в 2010 году. Сначала Джошуа выиграл британский турнир ABA Championships, а позже стал чемпионом Великобритании. На чемпионате Европы 2011 года одержал 2 победы, но в четвертьфинале потерпел досрочное поражение от Михая Нистора. В том же году на чемпионате мира взял серебро, уступив в финале азербайджанцу Магомедрасулу Меджидову.
На домашней Олимпиаде 2012 года завоевал золото, хотя мог завершить выступления уже после первого боя, когда не без помощи судей с преимуществом всего в один точный удар прошёл кубинца Эрисланди Савона. Далее справился с китайцем Чжаном Чжилеи (15-11) и казахстанцем Иваном Дычко (13-11). А в финале лишь по дополнительным подсчётам ударов и вновь не бесспорно одолел итальянца Роберто Каммарелле.