0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Что называется уравнением поверхности. Уравнение поверхности

Уравнения поверхности и кривой в пространстве

Уравнение (1)

называется уравнением поверхности в неявной форме, если координаты каждой точки поверхности удовлетворяют этому уравнению. И обратно, любая тройка чисел (x, y, z), удовлетворяющая уравнению, представляет собой координаты одной из точек поверхности. Неявные уравнения поверхности часто встречаются в аналитической геометрии.

Если уравнение (1) удаётся разрешить относительно одной из переменных, например, выразить

то получаем явное уравнение поверхности.

Систему уравнений , , (3)

задающих координаты точек как функции 2-х параметров u, v, называют уравнениями поверхности в параметрической форме. Это наиболее общий способ задания поверхности, которым пользуются в дифференциальной геометрии.

Исключая параметры u, v из системы (3), можно получить уравнение поверхности в явном виде. Явное уравнение (2) всегда можно тривиальным образом представить неявно f (x,y) – z = 0 и в параметрическом виде: x = u, y = v, z = f (u,v).

Пример 1. Рассмотрим круговой цилиндр с осью Oz и радиусом R. Возьмём в качестве параметров u, v, характеризующих положение точки (x, y, z) на цилиндре, угол, который плоскость, проходящая через ось Oz и точку (x, y, z), образует с плоскостью xz, и аппликату z точки (x, y, z).

Тогда получим уравнения цилиндра в параметрической форме:

, , .

В плоскости xy первые два уравнения есть параметрические уравнения окружности – направляющей цилиндра. Возведём их обе части в квадрат и сложим почленно:

.

Получили неявное уравнение окружности в плоскости x y:

.

Это же уравнение в пространстве является неявным уравнением цилиндра. Отсутствие координаты z в нём означает, что она не связана с координатами x, y. Аппликата z может быть любой.

Систему уравнений , (4)

называют неявными уравнениями кривой.Каждое уравнение системы (4) есть неявное уравнение поверхности, поэтому здесь кривая есть линия пересечения 2-х поверхностей.

Систему уравнений , , , (5)

задающую координаты точек кривой как функции некоторого параметра t, называют параметрическими уравнениями кривой.

В физике t – время, поэтому линия представляется как след движущейся точки.

Если система (4) разрешается относительно 2-х координат, например,

, , то она приводится к специальному параметрическому виду:

, , z = t. (6)

Наоборот, если из системы можно выразить параметр , например , то подставив его в остальные уравнения

,

получим систему уравнений кривой в специальном явном виде. Это два некруговых цилиндра с осями , Ox, которые пересекаются по линии.

Пример 2.Рассмотрим окружность в пространстве. Любую окружность можно представить как пересечение двух сфер. Следовательно, окружность может быть задана системой уравнений:

,

,

причём их центры , и радиусы должны удовлетворять некоторым ограничениям, обеспечивающим пересечение сфер. Если разности возвести в квадраты и вычесть одно уравнение из другого, то получим линейное уравнение плоскости, в которой лежит окружность. Окружность можно представить как сечение любой из 2-х сфер этой плоскостью.

Читать еще:  Поздравляем футболистов с победой. Поздравление с победой в конкурсе, спортивных соревнованиях, олимпиаде не в стихах

Кривая и поверхность могут не пересекаться, пересекаться в отдельных точках, либо лежать одна на другой. Если поверхность задаётся уравнением (1), а кривая – двумя уравнениями (4), то точки пересечения удовлетворяют системе уравнений (1), (4). Решая эту систему, находим координаты точек пересечения, если они есть.

Упражнение 33. Окружность задана пересечением двух сфер:

,

.

Найти ограничения на коэффициенты. Показать, что уравнение любой сферы, проходящей через эту окружность, можно задать уравнением

.

Упражнение 34. Составить уравнение прямого кругового конуса с осью Oz, вершиной О и углом при вершине.

Упражнение 35. Показать, что кривая при вращении около оси z описывает поверхность, задаваемую уравнением .

Поверхность и ее уравнение.

Уравнением поверхности в общей декартовой или в прямо­угольной системе координат называется уравнение F(х,у,z)=0, которое удовлетворяется координатами любой точки, лежащей на этой поверхности и не удовлетворяется координатами точек, не лежащих на поверхности.

Аналогично определяется уравнение поверхности в сферических координатах (неявное) и в цилиндрических координатах (неявное).

В частности, уравнение поверхности в декартовой системе координат может быть задано в виде, разрешенном относительно одной из координат, например в виде z=f(x,y).

Наконец, поверхность может быть задана параметрическими урав­нениями.

Параметрическими уравнениями поверхности П в декартовой системе координат называются уравнения вида

где функции и имеют одну и ту же область определения D (которая представляет собой множество упорядо­ченных пар чисел (и, ); каждой паре чисел (и, ) из этой области D соответствует точка M(x(u, ), y(u, ), z(и, )) поверхности П, и для любой точки М поверхности П найдется пара чисел и, из области D, такая, что х(и, ), у (и, ), z (и, ) будут координатами точки М. Числа и и называются криволинейными (или внут­ренними) координатами точки М. Аналогично определяются пара­метрические уравнения линии в цилиндрических и сферических координатах.

Дата добавления: 2015-08-11 ; просмотров: 491 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

Курс повышения квалификации за 340 рублей!

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

6. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. СФЕРА, ЭЛЛИПСОИД, КОНУС И ПАРАБОЛОИД. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ.

Общие уравнения поверхностей второго порядка.

Конус второго порядка .

Эллипсоид и сфера

Поверхность второго порядка представляет собой геометрическое место точек, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению

в котором по крайней мере один из коэффициентов A , B , C , D , E , H отличен от нуля. Поверхность, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от одной декартовой системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Для каждого уравнения (1) можно указать такую специальную систему координат, в которой уравнение (1) примет столь простой вид, что геометрическая характеристика поверхности не будет представлять затруднений. Простейшее для каждой поверхности уравнение называется каноническим. Далее будем определять поверхности только каноническими уравнениями и исследовать по ним вид этих поверхностей.

Читать еще:  Питание по луне на каждый. Питание по лунному календарю. «Лунная десятка» Аниты Цой

1. Ц и л и н д р и ч е с к и е п о в е р х н о с т и в т о р о г о п о р я д к а . Если в уравнении (1) одна из координат равна нулю, то определяемая этим уравнением поверхность называется цилиндрической. Предположим, что равна нулю координата z . Тогда уравнение

в котором по крайней мере один из коэффициентов A , B и D отличен от нуля, определяет в плоскости Oxy одну из кривых второго порядка, которая называется направляющей цилиндрической поверхности. Соответствующая цилиндрическая поверхность получается параллельным переносом направляющей вдоль прямых, параллельных координатной оси О z и называемых образующими этой поверхности. Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей второго порядка.

Поверхность, определяемая уравнением

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром ( рис. 50). Ее образующие параллельны оси Oz , а направляющей является эллипс с полуосями a и b , лежащий в плоскости Oxy . В частности, если a = b , то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение

Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется гиперболическим цилиндром (рис. 51). Направляющей цилиндра служит расположенная в плоскости Oxy гипербола с действительной полуосью a и мнимой полуосью b .

Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

(6) называется параболическим цилиндром (рис. 52). Направляющей цилиндра явля-ется парабола, лежащая в плоскости Oxy , а образующие параллельны оси Oz .

2. К о н у с в т о р о г о п о р я д к а . Конусом второго порядка или, кратко, конусом (рис. 53) называется поверхность, определяемая уравнением

Эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей.

Начало координат, являющееся центром симметрии, принадлежит поверхности и называется вершиной конуса. Сечениями конуса плоскостями и являются прямые и . В плоскости имеем эллипс

с полуосями Если то поверхность называется прямым круговым конусом. Его уравнение

3. Э л л и п с о и д и с ф е р а. Поверхность, определяемая уравнением

(9)

называется эллипсоидом. Величины a , b , c называются полуосями эллипсоида. Так как в уравнение (9) текущие координаты входят в четных степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей. Точки пересечения осей координат с эллипсоидом называются вершинами эллипсоида.

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью , и пусть при этом Тогда линия, которая получается в сечении, определяется системой уравнений

где Из уравнений (10) видно, что сечение эллипсоида (9) плоскостью () представляет собой эллипс с полуосями уменьшающимися с увеличением При имеем и сечение стягивается в точку – вершину эллипсоида. При эллипсоид с плоскостью , очевидно, не пересекается.

Аналогично можно показать, что при пересечении эллипсоида плоскостями и также получатся эллипсы. Эллипсоид имеет вид, изображенный на рис. 54.

Если две полуоси эллипсоида равны, например , то получаем уравнение

Читать еще:  Название подъемника в горах. Горнолыжные подъемники. Виды горнолыжных подъемников - классификация

которое определяет эллипсоид вращения , получаемый вращением вокруг оси Oz эллипса

расположенного в плоскости Oxz . Если все три полуоси эллипсоида (9) равны между собой, то получается сфера , определяемая уравнением

Таким образом, сфера оказывается частным случаем эллипсоида.

4. Г и п е р б о л о и д ы . Поверхность, определяемая уравнением

(13)

называется однополостным гиперболоидом. Установим вид поверхности (19). Для этого рассмотрим сечения ее координатными плоскостями Oxz () и Oyz (). Получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью , параллельной координатной плоскости Oxy , получится эллипс, уравнения которого имеют вид:

Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h . При получится эллипс, лежащий в плоскости Oxy и имеющий наименьшие полуоси a и b .

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополостный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления от плоскости Oxy (рис. 55).

При получим однополостный гиперболоид вращения

(14)

При пересечении его плоскостями получаются окружности.

Поверхность, определяемая уравнением

(15)

называется двуполостным гиперболоидом.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для двуполостного гиперболоида, а начало координат – его центром симметрии. Пересекая эту поверхность координатными плоскостями Oxz и Oyz , получим соответственно гиперболы

Если двуполостный гиперболоид (15) пересечь плоскостью ( при ), то в сечении получится эллипс

с полуосями, возрастающими с возрастанием . При поверхность (15) с плоскостью , очевидно, не пересекается. Двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных частей (полостей), чем и объясняется его название. Поверхность имеет вид, показанный на рис. 56.

При уравнение (15) имеет вид

и является уравнением двуполостного гиперболоида вращения. В сечении последнего с плоскостью ( при ) получается окружность

5. П а р а б о л о и д ы . Поверхность, определяемая уравнением

при условии, что p и q имеют одинаковые знаки, называется эллиптическим параболоидом. В дальнейшем для определенности будем считать, что p > 0, q > 0.

При пересечении эллиптического параболоида координатными плоскостями Oxz и Oyz получатся соответственно параболы

а при пересечении плоскостью () – эллипс

с полуосями и (рис. 57). В случае получим параболоид вращения

Поскольку переменные x и y входят в уравнение (5.55) в четных степенях, эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии: Oxz и Oyz . Начало координат является вершиной поверхности.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

при условии, что p и q имеют одинаковые знаки. Для определенности будем считать, что p > 0, q > 0.

При пересечении гиперболического параболоида координатными плоскостями Oxz и Oyz получаются соответственно параболы (рис. 58)

Линии пересечения гиперболического параболоида с плоскостями представляют собой при h > 0 гиперболы

с полуосями , , а при h

Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

Источники:

http://studopedia.ru/19_44687_uravneniya-poverhnosti-i-krivoy-v-prostranstve.html
http://helpiks.org/4-77584.html
http://infourok.ru/obschie-uravneniya-poverhnostey-vtorogo-poryadka-3074687.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector